spUBAn SUUIA MAUDHGAS BVIRD UIVI Ul JUL. U5SLOUKUUIUIGDSD. Oaktadt rec. dragit det resultatet af dessa sina misstag, att serie-metoden vore både oriktig och oanvändbar, bar han likväl framställt äfven den satsen tillika, att serie-metoden icke vore något annat än hvad som redan är föreskrifvet i den vanliga metoden, samt läres i de flesta läroböcker; således redan känd. Huru detta låter rimma sig i samma tankegång är svårt att inse. Ty är serie metoden densamma som den vanliga, och likväl oriktig, så måste den vanliga också vara det, hvilket rec. dock icke medgifver. Endast under förutsättningen att serie-metoden är riktig, kunde det ligga i rec:s, intresse at! förklara den enahanda med den vanliga metoden. Denna rec:s anmärkning är således i sjelfva verket en sjelfvederläggning. Derigenom framskymtar nemligen rec:s, jag vill ej säga öfvertygelse, men aning om att allt hvad han anmärkt emot seriemetoden, är dock i sjelfva verket endast misstag. Det återstår deremot för mig, som antager riktigheten af metoden, att bevisa att den icke är densamma som den vanliga, ty i sådant fall hade jsg ej behöft framkomma dermed. Jag abstraherar dervid först från approximations-metoden, hvilken utgör er särskild afdelning i båda metoderne. Sin sats, att serie-metoden ej är något annat än hvad som föreskrifves i den vanliga, grundar rec. derpå, att uti åtskilliga läroböcker föreskrifves, att de försök med substitutioner, som utgöra i sjelfva verket hela den vanliga metodens utvägar, böra följa de naturliga talen 0, 4, 2, 3, 4, och anser att ej något helt tal må förbigås vid dessa försök. Rec. menar nemligen, att äfven en sådan substitution företages i serie-metoden; ergo — äro metoderne identiska. Det faller hvar och en i ögonen att dermed är bevisningen icke slutad; och detia är redan anmärkt uti ofvannämnde uppsats af annan hand i Aftonbladet. Om substitutionen sker uti två olika funktioner i hvardera metoden, -såsom verkligen är fallet: om dermed sökes 2 olika resultater — uti den ena nemligen en serie af tal, uti den andra endast en räcka af tecken: om rötterne upptäckas på olika sätt, och slutligen: om både den substitutionen föregående och efterföljande operationen är olika i båda metoderne: hvad likhet hafva väl då dessa båda metoder med hvarandra? ... Men jag skall något närmare belysa denna olikhet. Det är endast i några läroböcker, som denna substitution i ordning efter de naturliga talen föreskrifves, hvilket äfven af rtec. anmärkes. I andra läroböcker finnes detta icke föreskrifvet. Detta härleder sig derifrån, att substitutionens företagande ända från O icke är enlig med sjelfva metodens grunder, enligt hvilka först rötternes öfre och nedre gränsor böra bestämmas. Antag t. ex. att man genom en föregående :operation funnit gränsorne för de positiva rötterne vara 46 och 342, så är ju uppenbart att man ej -behöfver substituera andra tal, än de som ligga emellan 6 och 42: att substitutioner af talen O, 4, 2, 3, 4, 5 i ett sådant fall äro alldeles onyttiga, och att således de läroböcker, som föreskrifva detta, begå ett fel, åtminstone om de icke tillägga, att det ej bör ske uten när man ej förut bestämt rötternes nedre gräns. Det visar sig således häraf, att substitutionen af de naturliga talen i ordning efter hvarandra och ända från 0, icke är något väsendtligt för den vanliga metoden, uten användes ensamt för säkerhets skull vid de fall, när man ej bestämt rötlernes nedre gräns. Vidare är det ett misstag hos rec., då han anser att den serie, som utvecklas i serie-metoden, beräknas genom substitution af hvart särskildt tal. Beräkningen sker neml. enligt differensräkningen, genom en-simpel addition och subtraktion, och först efter slutad beräkning af serien, tillser man hvilka af de naturliga talen, såsom indices motsvara termerna i serien. Men då man visserligen kan erhålla samma serie äfven genom substitution, eburu detta blir mycket mödosammare, så vill jag icke lägga någon vigt på denna skilnad; ehuru differens-serierne i några fall lemna vigtiga upplysningar om rötternes beskaffenhet. Om seriemetoden vore detsamma som substitutionen af de naturiiga talen i den vanliga metoden: hvarföre köra i den sednare metoden helt andra operationer både föregå och efterfölja, som icke användas i seriemetoden?... Hvarföre söker man i den vanliga metoden först de kommensurabla rötterna, sedan de lika rötterna, samt derefter nedsätter eqvationens grad, och sist först företager substitutionen af de naturliga talen, hvilka besvärliga operationer alldeles icke föregå serieutvecklingen i seriemetoden, som tvärtom der är den första? Hvarföre måste man i de flesta fall, sedan man substituerst dessa tal, gå till formerandet af den besvärliga differene-eqvationen, eller ock till användandet af det lika besvärliga Sturms theorem, :hvilken aildeles icke behöfver tillgripas i seriemetoden ? Substitutionen 1 den ena och seriebildningen i d:n andra metoden ske i alldeles olika ändamål; den ena nemligen i ändsmil att få en serie, som på en gång framlägger alla rötterna; och cen andra för aut bilda en följd af tecken, hvarigerom skell uppspåras successift den ena roten efter den andra; och hvarvid ofta händer, att m:n icke upptäcker någon enda rot, fastän det finnes flera. Om t. ex. eqvationen vore 2I—7z ——7, så blir operationen i den vanliga metoden följande: x 0, 4, 2, 3, 4, ö, 6, 7 Res.. F —, en följd af tecken, hvaraf man icke upptäcker någon positif rot, fsstän dessa rötter äro två; och hela den besvärlige substitutionen har således skett å pure perle, enär man derig-nom icke vet det minsta om rötterna mera än förut. Man blir således nödsakad att gå tiil diffsrenseqvationen eller Sturms teorem, för att slutligen fiona dem. . I serie-metoden söker man deremot de två positi a rötterna genom följande serie: TT0OF14-24t 83 4 X 0 — 6 — 6 6 56. min. Så snart derna serie är formerad, som sker på mindre än en minut, ser man genast att de två rötterns, antingen de äro imsagivära eller reella, måste ligga emellan 41 och 42; och för att utröna dett: närmare, går man till limit-eqvsationen, som genas upplyser om, att rötterna äro reella, och att den ene ligger emellan --1, och 1,59, camt den andra emel lan 44,58 och —2. Denna eqvation —7x-—7 är fullständigt behanrdlad efter gamia metoden uiil Reynauds noter till Bezouts Cours dAlgöxre, hvarest men kan fi s0 huru olika hela behandlingen är. So här i korthet de särskilda operationerna, som måste företsgar efter den vanliga metoden, såsom det hos nämnde författare framställes: 4. Sätt C—7X470. 2. Substituera divisorerne t4 och 7. 3. Substitusra de naturliga talen, och sök tecken resuliaterna deraf, nemligen: I0, 4, 2 3 4, ö, G, 7 Res. — 4 -. 4. Sök differens eqvationen, fom blir : y—4 2yt441y—4 90. ö. Sök rö ternes nedre gräns d i denna eqvatior, 1 gam hir PL 7