spUBAn SUUIA MAUDHGAS BVIRD UIVI Ul JUL. U5SLOUKUUIUIGDSD.
Oaktadt rec. dragit det resultatet af dessa sina
misstag, att serie-metoden vore både oriktig och oan-
vändbar, bar han likväl framställt äfven den satsen
tillika, att serie-metoden icke vore något annat än
hvad som redan är föreskrifvet i den vanliga
metoden, samt läres i de flesta läroböcker; såle-
des redan känd.
Huru detta låter rimma sig i samma tankegång
är svårt att inse. Ty är serie metoden densamma
som den vanliga, och likväl oriktig, så måste den
vanliga också vara det, hvilket rec. dock icke med-
gifver. Endast under förutsättningen att serie-me-
toden är riktig, kunde det ligga i rec:s, intresse at!
förklara den enahanda med den vanliga metoden.
Denna rec:s anmärkning är således i sjelfva ver-
ket en sjelfvederläggning. Derigenom framskymtar
nemligen rec:s, jag vill ej säga öfvertygelse, men
aning om att allt hvad han anmärkt emot serie-
metoden, är dock i sjelfva verket endast misstag.
Det återstår deremot för mig, som antager riktig-
heten af metoden, att bevisa att den icke är den-
samma som den vanliga, ty i sådant fall hade jsg
ej behöft framkomma dermed. Jag abstraherar der-
vid först från approximations-metoden, hvilken utgör
er särskild afdelning i båda metoderne.
Sin sats, att serie-metoden ej är något annat än
hvad som - föreskrifves i den vanliga, grundar rec.
derpå, att uti åtskilliga läroböcker föreskrifves, att
de försök med substitutioner, som utgöra i sjelfva
verket hela den vanliga metodens utvägar, böra
följa de naturliga talen 0, 4, 2, 3, 4, och anser att ej
något helt tal må förbigås vid dessa försök. Rec.
menar nemligen, att äfven en sådan substitution
företages i serie-metoden; ergo — äro metoderne iden-
tiska. Det faller hvar och en i ögonen att dermed
är bevisningen icke slutad; och detia är redan an-
märkt uti ofvannämnde uppsats af annan hand i
Aftonbladet. Om substitutionen sker uti två olika
funktioner i hvardera metoden, -såsom verkligen är
fallet: om dermed sökes 2 olika resultater — uti den
ena nemligen en serie af tal, uti den andra endast
en räcka af tecken: om rötterne upptäckas på olika
sätt, och slutligen: om både den substitutionen före-
gående och efterföljande operationen är olika i båda
metoderne: hvad likhet hafva väl då dessa båda me-
toder med hvarandra? ... Men jag skall något när-
mare belysa denna olikhet.
Det är endast i några läroböcker, som denna
substitution i ordning efter de naturliga talen före-
skrifves, hvilket äfven af rtec. anmärkes. I andra
läroböcker finnes detta icke föreskrifvet. Detta här-
leder sig derifrån, att substitutionens företagande
ända från O icke är enlig med sjelfva metodens
grunder, enligt hvilka först rötternes öfre och nedre
gränsor böra bestämmas. Antag t. ex. att man ge-
nom en föregående :operation funnit gränsorne för
de positiva rötterne vara 46 och 342, så är ju
uppenbart att man ej -behöfver substituera andra tal,
än de som ligga emellan 6 och 42: att substi-
tutioner af talen O, 4, 2, 3, 4, 5 i ett sådant fall
äro alldeles onyttiga, och att således de läroböcker,
som föreskrifva detta, begå ett fel, åtminstone om
de icke tillägga, att det ej bör ske uten när man
ej förut bestämt rötternes nedre gräns.
Det visar sig således häraf, att substitutionen af
de naturliga talen i ordning efter hvarandra och
ända från 0, icke är något väsendtligt för den van-
liga metoden, uten användes ensamt för säkerhets
skull vid de fall, när man ej bestämt rötlernes
nedre gräns.
Vidare är det ett misstag hos rec., då han anser
att den serie, som utvecklas i serie-metoden, beräk-
nas genom substitution af hvart särskildt tal. Be-
räkningen sker neml. enligt differensräkningen, genom
en-simpel addition och subtraktion, och först efter
slutad beräkning af serien, tillser man hvilka af de na-
turliga talen, såsom indices motsvara termerna i serien.
Men då man visserligen kan erhålla samma serie äfven
genom substitution, eburu detta blir mycket mödo-
sammare, så vill jag icke lägga någon vigt på denna
skilnad; ehuru differens-serierne i några fall lemna
vigtiga upplysningar om rötternes beskaffenhet.
Om seriemetoden vore detsamma som substitutio-
nen af de naturiiga talen i den vanliga metoden:
hvarföre köra i den sednare metoden helt andra ope-
rationer både föregå och efterfölja, som icke använ-
das i seriemetoden?... Hvarföre söker man i den van-
liga metoden först de kommensurabla rötterna, sedan
de lika rötterna, samt derefter nedsätter eqvationens
grad, och sist först företager substitutionen af de
naturliga talen, hvilka besvärliga operationer alldeles
icke föregå serieutvecklingen i seriemetoden, som
tvärtom der är den första? Hvarföre måste man
i de flesta fall, sedan man substituerst dessa tal, gå
till formerandet af den besvärliga differene-eqvatio-
nen, eller ock till användandet af det lika besvärliga
Sturms theorem, :hvilken aildeles icke behöfver till-
gripas i seriemetoden ?
Substitutionen 1 den ena och seriebildningen i d:n
andra metoden ske i alldeles olika ändamål; den ena
nemligen i ändsmil att få en serie, som på en gång
framlägger alla rötterna; och cen andra för aut
bilda en följd af tecken, hvarigerom skell uppspåras
successift den ena roten efter den andra; och
hvarvid ofta händer, att m:n icke upptäcker någon
enda rot, fastän det finnes flera.
Om t. ex. eqvationen vore 2I—7z ——7, så blir
operationen i den vanliga metoden följande:
x 0, 4, 2, 3, 4, ö, 6, 7
Res.. F —, en följd af
tecken, hvaraf man icke upptäcker någon positif rot,
fsstän dessa rötter äro två; och hela den besvärlige
substitutionen har således skett å pure perle, enär
man derig-nom icke vet det minsta om rötterna
mera än förut. Man blir således nödsakad att gå
tiil diffsrenseqvationen eller Sturms teorem, för att
slutligen fiona dem. .
I serie-metoden söker man deremot de två posi-
ti a rötterna genom följande serie:
TT0OF14-24t 83 - 4
X 0 — 6 — 6 6 56.
min.
Så snart derna serie är formerad, som sker på
mindre än en minut, ser man genast att de två röt-
terns, antingen de äro imsagivära eller reella, måste
ligga emellan 41 och 42; och för att utröna dett:
närmare, går man till limit-eqvsationen, som genas
upplyser om, att rötterna äro reella, och att den ene
ligger emellan --1, och 1,59, camt den andra emel
lan 44,58 och —2.
Denna eqvation —7x-—7 är fullständigt be-
hanrdlad efter gamia metoden uiil Reynauds noter
till Bezouts Cours dAlgöxre, hvarest men kan fi
s0 huru olika hela behandlingen är. So här i kort-
het de särskilda operationerna, som måste företsgar
efter den vanliga metoden, såsom det hos nämnde
författare framställes:
4. Sätt C—7X470.
2. Substituera divisorerne t4 och 7.
3. Substitusra de naturliga talen, och sök tecken
resuliaterna deraf, nemligen:
I0, 4, 2 3 4, ö, G, 7
Res. — 4 -.
4. Sök differens eqvationen, fom blir :
y—- 4 2yt441y—4 90.
ö. Sök rö ternes nedre gräns d i denna eqvatior,
1
gam hir PL 7